H-eixo de simetria no Disco de Poincaré

Esta publicação visa preencher lacunas que ficaram da publicação Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, por esta razão, sugiro que a veja antes de continuar com a leitura desta publicação.


Teorema 1 - Sejam $A$ e $B$ h-pontos distintos, existe uma única h-reta $s$ tal que $\mathfrak{R}_s(A)=A'$.

DEMONSTRAÇÃO

Devemos considerar quatro situações, no plano $\mathbb{E}_\infty$: i) $A$ e $B$ são equidistantes de $O$; ii) $A,B$ e $O$ são pontos colineares e não-equidistantes; iii) $A,B$ e $O$ são ponto não-colineares e $A$ e $B$ não são equidistantes de $O$; e iv) $B=O$

A seguir está uma construção feita no Geogebra, onde é possível observar as construções que comprovam que a h-reta $s$ existe e é única.

Construção 1: Determinando o h-eixo de simetria conhecendo dois pontos simétricos