Determinando o h-centro de uma h-circunferência no Disco de Poincaré

Introdução

Veremos uma forma de determinar o h-centro de uma h-circunferência, no modelo de Disco de Poincaré.

Um pouco mais sobre h-circunferências no Disco de Poincaré

Na postagem Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré é mostrado que uma h-circunferência também é uma circunferência euclidiana, porém o centro euclidiano (centro) e o centro hiperbólico (h-centro) não coincidem, exceto se as h-circunferências e o Disco de Poincaré são concêntricos.

Nesta postagem, apresentaremos algumas relações entre o plano hiperbólico, h-circunferências e h-eixo de simetria.

Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré

Nesta postagem, mostraremos que uma h-circunferência é igual a uma circunferência no plano euclidiano, porém, o h-centro é distinto do centro e o modo de medir o raio também é diferente. Para melhor compreensão desta postagem, sugerimos a leitura das seguintes postagens: Inversão de circunferência em relação a outra circunferência e Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta. Assim, vamos construir uma h-circunferência a partir da Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta transcrita a seguir:

Dado um h-ponto $C$ e uma h-distância $\rho$, definiremos a circunferência hiperbólica $\lambda$, ou h-circunferência, com h-centro em $C$ e h-raio $\rho$ o conjunto dos h-pontos que estão a uma h-distância $\rho$ do h-ponto $C$

Mediatriz e H-ponto médio no Disco de Poincaré

Nesta publicação veremos a definição de mediatriz no plano $\mathbb{H}$ e h-ponto médio de um segmento de h-reta.

Para uma boa compreensão das demonstrações, é importante que o leitor tenha conhecimento sobre a reflexão em torno de uma h-reta, para isso, sugerimos a leitura das publicações Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta e H-eixo de simetria no Disco de Poincaré.

H-eixo de simetria no Disco de Poincaré

Esta publicação visa preencher lacunas que ficaram da publicação Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, por esta razão, sugiro que a veja antes de continuar com a leitura desta publicação.

Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta

Nesta postagem conheceremos uma transformação no plano hiperbólico, reflexão em torno de uma h-reta, e provaremos que esta transformação é uma isometria.

Para o bom entendimento desta publicação, é importante que tenha conhecimento sobre o modelo de Disco proposto por Poincaré, para isso sugerismo a leitura da publicação Disco de Poincaré: ponto, reta e plano. Desta forma, o plano hiperbólico $\mathbb{H}$ será a região delimitada por uma circunferência $\alpha$, com centro num ponto $O$ e raio não-nulo. Também sugerimos a leitura da publicação Métrica no Disco de Poincaré para melhor conhecimento sobre a forma de medir a distância entre dois h-pontos no Disco de Poincaré.

Para boa compreensão das demonstrações, é necessário que o leitor tenha conhecimento sobre inversão na circunferência, caso não tenha, sugerimos a leitura das publicações (nesta ordem) Inversão na circunferência, Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$, Inversão de ponto externo a circunferência$\alpha$, Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência, Circunferências ortogonais, Inversão de reta em relação à circunferência, Inversão de circunferência em relação a outra circunferência, Inversão de ângulos formados por retas e circunferências e Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão.

Para saber como construir h-retas, leia a publicação Construção de h-reta e H-retas perpendiculares.

Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

Sei que o título desta postagem é tão complicado de se compreender quanto o 5º postulado de Euclides:

Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Wikipedia)

O objetivo é determinar o centro de uma circunferência $\beta'$ que é o inverso de outra circunferência, chamada de $\beta$, em relação a uma circunferência $\alpha$. Veremos, a seguir, que apesar de um enunciado tão complicado de entender, o teorema é bem compreensível.

Inversão de ângulos formados por retas e circunferências

Nesta postagem veremos que seja $m$ e $n$ duas retas, ou duas circunferências, ou uma reta e uma circunferência que se intersetam num ponto $P$ formando um ângulo $\theta$. As inversões, $m'$ e $n'$, respectivamente de $m$ e $n$, em relação a uma circunferência $\alpha$, formam um ângulo congruente a $\theta$ no ponto $P'$, inverso do ponto $P$.

Inversão de circunferência em relação a outra circunferência

Veremos que a inversão de uma circunferência em relação a outra pode ser uma circunferência que não passa pelo centro de inversão ou uma reta que não passa pelo centro de inversão. Em uma caso particular, mostraremos a inversão de uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão.

Inversão de reta em relação à circunferência

Estudamos na escola que há três posições relativas entre uma reta e uma circunferência no plano:

• A reta é externa à circunferência;
• A reta é tangente à circunferência; e
• A reta é secante à circunferência 

Em se tratando de inversão na circunferência, há mais uma posição entre reta e circunferência que devemos considerar:

• A reta passa pelo centro de inversão

Pois, apenas nesta última, um ponto pertencente à reta tem seu inverso, em relação à circunferência de inversão, pertencente a mesma reta.

H-retas perpendiculares

Nesta postagem, veremos uma construção de uma h-reta $t$ determinada por um de seus h-pontos, denominado por $P$, e uma de suas perpendiculares, denominada $r$. Para esta construção, consideraremos as seguintes situações:

1. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$;
2. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$;
3. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$; e
4. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$.

Ângulo no h-plano

No h-plano, vamos considerar duas h-retas que se intersetam num h-ponto $A$, a medida do ângulo formado por essas h-retas no h-ponto $A$ obedecerá as seguintes condições:

Construção de h-reta

Atualizada em 30/07/2016 as 13:41

A geometria hiperbólica satisfaz os quatro primeiros postulados de Euclides. Deste modo, dois h-pontos determinam uma única h-reta. Ainda é possível determinar uma h-reta conhecendo um dos seus h-pontos e um dos pontos ideais ou conhecendo os dois pontos ideais.

Nesta postagem, veremos construções de h-retas determinadas por dois h-pontos, por um h-ponto e um ponto ideal e por dois pontos ideais, auxiliados pelo software Geogebra.