Nesta postagem, mostraremos que uma h-circunferência é igual a uma circunferência no plano euclidiano, porém, o h-centro é distinto do centro e o modo de medir o raio também é diferente. Para melhor compreensão desta postagem, sugerimos a leitura das seguintes postagens: Inversão de circunferência em relação a outra circunferência e Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta. Assim, vamos construir uma h-circunferência a partir da Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta transcrita a seguir:
Dado um h-ponto $C$ e uma h-distância $\rho$, definiremos a circunferência hiperbólica $\lambda$, ou h-circunferência, com h-centro em $C$ e h-raio $\rho$ o conjunto dos h-pontos que estão a uma h-distância $\rho$ do h-ponto $C$
Seja $P$ um h-ponto tal que $\rho=d_h(O,P)$ e seja $P_0\in\mathbb{H}$ um ponto genérico tal que $P$ e $P_0$ são equidistantes de $O$, no plano euclidiano, ver Figura 1.
Figura 1 |
Sendo $Z_1$ e $Z_3$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP_0}$ e $Z_2$ e $Z_4$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP}$. Temos:
$$\begin{matrix}
d_h(O,P_0)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_3P_0}\cdot\overline{Z_1O}}{\overline{Z_1P_0}\cdot\overline{Z_3O}}\right|\\ \rho=d_h(O,P)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_4P}\cdot\overline{Z_2O}}{\overline{Z_2P}\cdot\overline{Z_4O}}\right|
\end{matrix}$$
Como, no plano euclidiano, os pontos $P,P_0$ são equidistantes do $O$, então
$$\begin{matrix}
\overline{Z_1P_0}\cong\overline{Z_2P}\\
\overline{Z_3P_0}\cong\overline{Z_4P}\\
\end{matrix}$$
E ainda temos que $Z_1,Z_2,Z_3,Z_4$ são equidistantes de $O$, desta forma, teremos $d_h(O,P_0)=\rho$
Figura 2 |
Vimos que se o h-centro de uma h-circunferência $\lambda$ for o h-ponto $O$, então, $\lambda$ é uma circunferência euclidiana, vamos mostrar a seguir que qualquer h-circunferência com h-centro diferente de $O$ é uma circunferência euclidiana.
Considere $r$ como um h-eixo de simetria arbitrário (ver Definição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta). Se $O\in r$, então, $r$ é um diâmetro de $\alpha$ gerado por uma reta $r_0$. Deste modo, a reflexão da circunferência $\lambda$ em torno da h-reta $r$ será, no plano euclidiano, o simétrico da circunferência $\lambda$ em relação à reta $r_0$, que denominaremos por $\lambda'$. Como $r_0$ passa pelo centro de $\lambda$, então, $\lambda$ será simétrica a si mesmo, ou seja, $\lambda'=\lambda$, portanto, no plano hiperbólico, o simétrico da h-circunferência $\lambda$ em torno de um h-eixo $r$ que passa por seu centro $O$ será a própria h-circunferência $\lambda$, ver Figura 3.
Figura 3 |
Figura 4 |
Pela arbitrariedade na escolha da h-reta $r$ podemos generalizar que as circunferências hiperbólicas também são circunferências euclidianas, porém, o centro euclidiano não coincide com o centro hiperbólico a não ser que $O$ seja o h-centro.
Na Construção 1, feita no Geogebra, a h-circunferências $\lambda$ tem h-centro em $O$ e $A$ é um h-ponto de $\lambda$, onde $\rho=\overline{OA}$. Temos ainda que $r$ é um h-eixo de simetria, como pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, $\lambda'$ e $O'$ são os simétricos de $\lambda$ e $O$ em torno de $r$, respectivamente, o h-ponto $Q$ pertence a $\lambda'$ e o ponto $E$ é o centro euclidiano de $\lambda'$. Os pontos na cor amarela podem ser movidos.
Construção 1 |
Nenhum comentário:
Postar um comentário