Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré

Nesta postagem, mostraremos que uma h-circunferência é igual a uma circunferência no plano euclidiano, porém, o h-centro é distinto do centro e o modo de medir o raio também é diferente. Para melhor compreensão desta postagem, sugerimos a leitura das seguintes postagens: Inversão de circunferência em relação a outra circunferência e Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta. Assim, vamos construir uma h-circunferência a partir da Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta transcrita a seguir:

Dado um h-ponto $C$ e uma h-distância $\rho$, definiremos a circunferência hiperbólica $\lambda$, ou h-circunferência, com h-centro em $C$ e h-raio $\rho$ o conjunto dos h-pontos que estão a uma h-distância $\rho$ do h-ponto $C$

Seja $P$ um h-ponto tal que $\rho=d_h(O,P)$ e seja $P_0\in\mathbb{H}$ um ponto genérico tal que $P$ e $P_0$ são equidistantes de $O$, no plano euclidiano, ver Figura 1.

Figura 1

Sendo $Z_1$ e $Z_3$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP_0}$ e $Z_2$ e $Z_4$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP}$. Temos:

$$\begin{matrix} d_h(O,P_0)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_3P_0}\cdot\overline{Z_1O}}{\overline{Z_1P_0}\cdot\overline{Z_3O}}\right|\\ \rho=d_h(O,P)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_4P}\cdot\overline{Z_2O}}{\overline{Z_2P}\cdot\overline{Z_4O}}\right| \end{matrix}$$

Como, no plano euclidiano, os pontos $P,P_0$ são equidistantes do $O$, então

$$\begin{matrix} \overline{Z_1P_0}\cong\overline{Z_2P}\\ \overline{Z_3P_0}\cong\overline{Z_4P}\\ \end{matrix}$$

E ainda temos que $Z_1,Z_2,Z_3,Z_4$ são equidistantes de $O$, desta forma, teremos  $d_h(O,P_0)=\rho$

Figura 2

No plano euclidiano, sabemos que o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância $\overline{OP}$ do ponto $O$ é a circunferência $\lambda$, que tem centro no ponto $O$ e raio $\overline{OP}$. Considerando ainda o plano euclidiano, sendo $P$ e $P_0$ equidistante de $O$, verificamos que $P$ e $P_0$ são também equidistantes de $O$ no plano hiperbólico, assim, vemos que o lugar geométrico do h-ponto $P_0$ é a circunferência $\lambda$. Como todos os h-pontos de $\lambda$ são equidistantes de $O$, pela Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, $\lambda$ é uma h-circunferência com h-centro $O$ e h-raio $\overline{OP}$. Podemos generalizar para toda h-circunferência, com h-centro em $O$ e que passa por um h-ponto $P\neq O$ é uma circunferência euclidiana com centro no ponto $O$ e raio $\overline{OP}$, ver Figura 2.

Vimos que se o h-centro de uma h-circunferência $\lambda$ for o h-ponto $O$, então, $\lambda$ é uma circunferência euclidiana, vamos mostrar a seguir que qualquer h-circunferência com h-centro diferente de $O$ é uma circunferência euclidiana.

Considere $r$ como um h-eixo de simetria arbitrário (ver Definição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta). Se $O\in r$, então, $r$ é um diâmetro de $\alpha$ gerado por uma reta $r_0$. Deste modo, a reflexão da circunferência $\lambda$ em torno da h-reta $r$ será, no plano euclidiano, o simétrico da circunferência $\lambda$ em relação à reta $r_0$, que denominaremos por $\lambda'$. Como $r_0$ passa pelo centro de $\lambda$, então, $\lambda$ será simétrica a si mesmo, ou seja, $\lambda'=\lambda$, portanto, no plano hiperbólico, o simétrico da h-circunferência $\lambda$ em torno de um h-eixo $r$ que passa por seu centro $O$ será a própria h-circunferência $\lambda$, ver Figura 3.

Figura 3

Se $O\notin r$, ou seja, $r$ é uma h-reta gerada por uma circunferência $r_a$, então, o simétrico da h-circunferência $\lambda$ em relação à $r$, denominaremos por $\lambda'$, será, no plano euclidiano, o inverso de $\lambda$ em relação à circunferência $r_a$. De acordo com o Teorema 1 - Inversão de circunferência em relação a outra circunferência, o inverso de $\lambda$ em relação à $r_a$ será outra circunferência, $\lambda'$, ver Figura 4. Sendo $O'$ o simétrico de $O$ em relação à h-reta $r$, o Teorema 1 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta diz que a reflexão em torno de uma h-reta é uma isometria, ou seja, é uma aplicação que conserva distância e ângulo, então, como $O$ é um h-ponto que está a uma distância $\rho$ de qualquer ponto de $\lambda$, então $O'$ está a uma distância $\rho$ de qualquer ponto de $\lambda'$, portanto, a h-circunferência $\lambda'$ tem centro no ponto $O'$ e raio $\rho$.

Figura 4

Pela arbitrariedade na escolha da h-reta $r$ podemos generalizar que as circunferências hiperbólicas também são circunferências euclidianas, porém, o centro euclidiano não coincide com o centro hiperbólico a não ser que $O$ seja o h-centro.

Na Construção 1, feita no Geogebra, a h-circunferências $\lambda$ tem h-centro em $O$ e $A$ é um h-ponto de $\lambda$, onde $\rho=\overline{OA}$. Temos ainda que $r$ é um h-eixo de simetria, como pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, $\lambda'$ e $O'$ são os simétricos de $\lambda$ e $O$ em torno de $r$, respectivamente, o h-ponto $Q$ pertence a $\lambda'$ e o ponto $E$ é o centro euclidiano de $\lambda'$. Os pontos na cor amarela podem ser movidos.

Construção 1

Observe que, em $\lambda'$, no plano euclidiano, $\overline{EQ}$ é o raio enquanto que, no plano hiperbólico, $\overline{O'Q}=\rho$ é o h-raio.