Inversão de ângulos formados por retas e circunferências

Nesta postagem veremos que seja $m$ e $n$ duas retas, ou duas circunferências, ou uma reta e uma circunferência que se intersetam num ponto $P$ formando um ângulo $\theta$. As inversões, $m'$ e $n'$, respectivamente de $m$ e $n$, em relação a uma circunferência $\alpha$, formam um ângulo congruente a $\theta$ no ponto $P'$, inverso do ponto $P$.

Inversão de circunferência em relação a outra circunferência

Veremos que a inversão de uma circunferência em relação a outra pode ser uma circunferência que não passa pelo centro de inversão ou uma reta que não passa pelo centro de inversão. Em uma caso particular, mostraremos a inversão de uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão.

Inversão de reta em relação à circunferência

Estudamos na escola que há três posições relativas entre uma reta e uma circunferência no plano:

• A reta é externa à circunferência;
• A reta é tangente à circunferência; e
• A reta é secante à circunferência 

Em se tratando de inversão na circunferência, há mais uma posição entre reta e circunferência que devemos considerar:

• A reta passa pelo centro de inversão

Pois, apenas nesta última, um ponto pertencente à reta tem seu inverso, em relação à circunferência de inversão, pertencente a mesma reta.

H-retas perpendiculares

Nesta postagem, veremos uma construção de uma h-reta $t$ determinada por um de seus h-pontos, denominado por $P$, e uma de suas perpendiculares, denominada $r$. Para esta construção, consideraremos as seguintes situações:

1. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$;
2. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$;
3. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$; e
4. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$.

Ângulo no h-plano

No h-plano, vamos considerar duas h-retas que se intersetam num h-ponto $A$, a medida do ângulo formado por essas h-retas no h-ponto $A$ obedecerá as seguintes condições:

Construção de h-reta

Atualizada em 30/07/2016 as 13:41

A geometria hiperbólica satisfaz os quatro primeiros postulados de Euclides. Deste modo, dois h-pontos determinam uma única h-reta. Ainda é possível determinar uma h-reta conhecendo um dos seus h-pontos e um dos pontos ideais ou conhecendo os dois pontos ideais.

Nesta postagem, veremos construções de h-retas determinadas por dois h-pontos, por um h-ponto e um ponto ideal e por dois pontos ideais, auxiliados pelo software Geogebra.

Circunferências ortogonais

Através da construção de circunferências ortogonais, poderemos determinar h-retas e realizar transformações geométricas no h-plano. Veremos teoremas importantes que fundamentam a construção de uma circunferência ortogonal a uma circunferência dada.

Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência

Considere os pontos distintos $O, P$ e $R$ e uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r=\overline{OR}\neq 0$ no plano euclidiano.

A construção a seguir, feita no Geogebra, é para determinar a inversão do ponto $P$ em relação a circunferência $\alpha$ independente do ponto ser interno ou externo à circunferência de inversão.

Inversão de ponto externo a circunferência $\alpha$

Nesta postagem, realizaremos uma construçãogeométrica para determinar a inversão de um ponto externo à circunferência de inversão.

Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$

Vamos determinar, por meio de construções geométricas, o ponto inverso $P'$ do ponto $P$ que é interno à circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$.

Inversão na circunferência

A inversão na circunferência é uma transformação que associa um ponto interno de uma circunferência a um único ponto externo da mesma circunferência. Esta transformação é importante para realizar construções no h-plano tais como h-retas e estabelecer a reflexão de uma h-reta.

Nesta postagem, definiremos pontos inversos, ponto ideal, plano de inversão e inversão na circunferência e veremos que a inversão na circunferência é uma relação biunívoca.

Propriedades da Métrica do Disco de Poincaré

Considerando três h-pontos $A$, $B$ e $C$, a distância entre dois h-pontos conserva as seguintes propriedades:

$\left. P_1 \right)$ $d_h(A,B)\geq 0$, sendo que $d_h(A,B)=0\Leftrightarrow A=B$.

Métrica no Disco de Poincaré

OS PROBLEMAS DA MÉTRICA EUCLIDIANA NO H-PLANO DO DISCO DE POINCARÉ

Na geometria hiperbólica, o plano é uma região ilimitada, porém o plano hiperbólico do Disco de Poincaré é uma região restrita no plano euclidiano, se determinássemos a distância de dois h-pontos da mesma forma que determinamos a distância de dois pontos em $\mathbb{E}$, o maior comprimento seria menor que $2\cdot r$ (diâmetro de $\alpha$).

O Disco de Poincaré: ponto, reta e plano

Jules Henri Poincaré (1854-1912) era Engenheiro de Minas pela École Polytechnique (1875), trabalhou no Departamento de Minas até falecer. Foi Doutor em Ciências pela Universidade de Paris (1879), onde adquiriu Cátedra, e foi professor da Universidade de Sorbone. Ao contrário de outros famosos matemáticos, Poincaré se revelou um gênio na idade adulta e foi prova viva que habilidade para os números não é um pré-requisito para ser um grande matemático, pois, Poincaré não tinha habilidade para cálculos laboriosos mas é considerado um universalista em Matemática. 

O modelo de Disco de Poincaré para Geometria Hiperbólica foi criado entre 1882 e 1887. Ele faz uso da Geometria Euclidiana, mas utilizando os postulados da Geometria Hiperbólica, assim, se houver alguma inconsistência, então, também há inconsistência na Geometria Euclidiana.

Alguns fatos históricos da Geometria Hiperbólica

Última atualização em 29/06/2016 as 19h52

INTRODUÇÃO

Esta postagem busca apresenta alguns fatos que considero marcantes para o surgimento da Geometria Hiperbólica, desta forma, não faremos um profundo estudo da origem das geometria não-euclidianas e algumas informações históricas serão ocultadas, mas no final colocamos as referências consultadas para o leitor que desejar ir além do que está nesta postagem.