$\left. P_1 \right)$ $d_h(A,B)\geq 0$, sendo que $d_h(A,B)=0\Leftrightarrow A=B$.
DEMONSTRAÇÃO
Considerando a h-reta $t$ que passa por $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, independente da h-reta $t$ ser um diâmetro $\alpha$ ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$, os valores para $\overline{AZ_1}, \overline{AZ_2}, \overline{BZ_1}$ e $\overline{BZ_2}$ são positivos, pois representam distâncias no plano euclidiano, assim:
$$\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}> 0$$
Se $0<\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}<1$, então
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right) ^{-1}\right|=\left|-\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}>0$$
Se $\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}>1$, então
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|>1$$
Assim, provamos que a distância de dois h-pontos não assume valores negativos, agora vamos mostrar que $d_h(A,B)=0\Leftrightarrow A=B$. Considere ainda a h-reta $t$ que passa pelos h-pontos $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$.
$\left.\Rightarrow\right)$ Já vimos que se $A=B$ então $d_h(A,B)=0$
$\left.\Leftarrow\right)$ Se
$$\begin{equation}d_h(A,B)=0\Rightarrow\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln 1\right|\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}=1 \end{equation}$$
$$\begin{equation}\label{eq1} \overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}=\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}\end{equation}$$
No Disco de Poincaré, a h-reta $t$ pode ser a) um diâmetro de $\alpha$ ou b) um arco de circunferência ortogonal $\alpha$, para continuidade da demonstração vamos considerar cada um destes casos.
a) Se $t$ é um diâmetro de $\alpha$ e, por absurdo, $A$ e $B$ são h-pontos distintos, ver Figura 1, temos que $\overline{AZ_1}=\overline{AB}+\overline{BZ_1}$ e $\overline{BZ_2}=\overline{AB}+\overline{AZ_2}$, substituindo em $\eqref{eq1}$ temos:
$$\begin{equation}\label{eq2} \left( \overline{AB}+\overline{BZ_1} \right)\cdot\left( \overline{AB}+\overline{AZ_2} \right) = \overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}\end{equation}$$
 |
| Figura 1: H-reta $t$ que passa por $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$ |
b) Vamos considerar que a h-reta $t$ é um arco de circunferência ortogonal à $\alpha$, então os pontos $A, B, Z_1$ e $Z_2$ formam os triângulo $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ no plano euclidiano, ver Figura 2.
Verificamos em $\eqref{eq1}$ que os triângulos $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ são semelhantes onde os lados $\overline{AZ_2}$ e $\overline{BZ_2}$ são correspondentes, assim como os lados $\overline{AZ_1}$ e $\overline{BZ_1}$ também são correspondentes, portanto, $\overline{Z_2Z_1}$ é o terceiro lado correspondente nos dois triângulos, então:
$$\overline{AZ_2}=\overline{BZ_2} \\ \overline{AZ_1}=\overline{BZ_1}$$
Logo, $A=B$
$\left. P_2 \right)$ $d_h(A,B)=d_h(B,A)$
DEMONSTRAÇÃO
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right)^{-1}\right|=\left|-\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\right|=d_h(B,A)$$
  |
| Figura 2: Triângulos $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ no plano euclidiano |
$$\overline{AZ_2}=\overline{BZ_2} \\ \overline{AZ_1}=\overline{BZ_1}$$
Logo, $A=B$
$\square$
$\left. P_2 \right)$ $d_h(A,B)=d_h(B,A)$
DEMONSTRAÇÃO
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right)^{-1}\right|=\left|-\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\right|=d_h(B,A)$$
$\square$
$\left. P_3 \right)$ A métrica do Disco de Poincaré satisfaz a desigualdade triangular.
Para demonstração desta propriedade, utilizaremos a mesma definição de pontos colineares no plano euclidiano e enunciaremos a desigualdade triangular como um teorema, mas não faremos a sua demonstração, pois extrapola os objetivos desta postagem, mas quem tiver interesse sugerimos MUNIZ NETO (2013, cap 4).
DEFINIÇÃO 1
Sejam $A,B$ e $C$ h-pontos, diremos que eles são colineares se existir uma h-reta $t$ que passa por estes h-pontos, caso contrário, diremos que eles são não-colineares.
TEOREMA 1
Em todo triângulo, cada lado tem comprimento menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Assim como no plano euclidiano, se os h-pontos $A,B$ e $C$ forem colineares, com $B$ entre $A$ e $C$ (a relação está entre no h-plano é a mesma no plano euclidiano, ver Figura 3) teremos:
$$\begin{equation}\label{dt1}d_h(A,B)+d_h(B,C)=d_h(A,C)\end{equation}$$
Vejamos a demonstração de $\eqref{dt1}$
$$d_h(A,B)+d_h(B,C)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|+\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=d_h(A,C)$$
Vamos considerar os h-pontos não-colineares $A,B$ e $O$ ($O$ é o centro de $\alpha$ no plano euclidiano) que formam um triângulo hiperbólico ou h-triângulo, que denominaremos por $\blacktriangle_{OAB}$, ver Figura 4.
Para demonstração desta propriedade, utilizaremos a mesma definição de pontos colineares no plano euclidiano e enunciaremos a desigualdade triangular como um teorema, mas não faremos a sua demonstração, pois extrapola os objetivos desta postagem, mas quem tiver interesse sugerimos MUNIZ NETO (2013, cap 4).
DEFINIÇÃO 1
Sejam $A,B$ e $C$ h-pontos, diremos que eles são colineares se existir uma h-reta $t$ que passa por estes h-pontos, caso contrário, diremos que eles são não-colineares.
TEOREMA 1
Em todo triângulo, cada lado tem comprimento menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Assim como no plano euclidiano, se os h-pontos $A,B$ e $C$ forem colineares, com $B$ entre $A$ e $C$ (a relação está entre no h-plano é a mesma no plano euclidiano, ver Figura 3) teremos:
$$\begin{equation}\label{dt1}d_h(A,B)+d_h(B,C)=d_h(A,C)\end{equation}$$
  |
| Figura 3: $B$ está entre $A$ e $C$ |
$$d_h(A,B)+d_h(B,C)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|+\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=d_h(A,C)$$
$\square$
Vamos considerar os h-pontos não-colineares $A,B$ e $O$ ($O$ é o centro de $\alpha$ no plano euclidiano) que formam um triângulo hiperbólico ou h-triângulo, que denominaremos por $\blacktriangle_{OAB}$, ver Figura 4.
Vamos provar que $$\begin{equation}\label{dt2}d_h(A,O)+d_h(O,B)>d_h(A,B)\end{equation}$$ DEMONSTRAÇÃO
No plano euclidiano, a menor distância do ponto $A$ para $\alpha$ é $\overline{AZ_6}$, assim, verificamos que $\overline{AZ_6}<\overline{AZ_2}\Rightarrow\dfrac{1}{\overline{AZ_6}}>\dfrac{1}{\overline{AZ_2}}$. A maior distância entre o ponto $A$ e $\alpha$ é $\overline {AZ_5}$, então temos $\overline{AZ_5}>\overline{AZ_1}$, Assim:
$$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}$$
Analogamente, temos:
$$\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}$$
Assim,
$$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}$$
Lembrando que $\overline{OZ_6}=\overline{OZ_5}=\overline{OZ_4}=\overline{OZ_3}=r$ e $r$ é o raio de $\alpha$. Portando
$$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow \\
\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}\right)\right|>\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\right)\right|\Rightarrow \\
\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\right)\right|+\left|\ln\left(\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}\right)\right|>\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\right)\right|\Rightarrow \\
d_h(A,O)+d_h(O,B)>d_h(A,B)$$
$\square$
Podemos utilizar reflexão numa h-reta para mostrar que $d_h(A,B)+d_h(B,O)>d_(A,O)$ e $d_h(A,B)+d_h(A,O)>d_h(B,O)$ assim como provar para três h-pontos não-colineares, $A,B$ e $C$, distintos de $O$ que $d_h(A,B)+d_h(B,C)>d_h(A,C)$. Não mostraremos o processo de reflexão numa h-reta, mas se o leitor tiver interesso sobre o assunto, indicamos Souza (2014, p. 87-92)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANDRADE, Plácido Francisco de. Introdução à Geometria Hiperbólica: O modelo de Poincaré. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 263 p. (Textos Universitários).
MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Geometria. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 502 p.
SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.
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