Métrica no Disco de Poincaré

OS PROBLEMAS DA MÉTRICA EUCLIDIANA NO H-PLANO DO DISCO DE POINCARÉ

Na geometria hiperbólica, o plano é uma região ilimitada, porém o plano hiperbólico do Disco de Poincaré é uma região restrita no plano euclidiano, se determinássemos a distância de dois h-pontos da mesma forma que determinamos a distância de dois pontos em $\mathbb{E}$, o maior comprimento seria menor que $2\cdot r$ (diâmetro de $\alpha$).

Figura 1: Maior distância euclidiana entre dois h-pontos

Diante deste problema, é necessário adotar uma métrica para o h-plano que possibilite alterar seu comprimento quando um dos pontos se aproxima de $\alpha$ dando a noção de infinidade, além disso, tem o fato da h-reta que passa por dois h-pontos depender da posição relativa destes com $O$ em $\mathbb{E}$, pois, no Disco de Poincaré, a geodésica pode ser um segmento ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$ no plano euclidiano.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS H-PONTOS

Para seu modelo, Poincaré propôs a seguinte forma de medir a distância entre dois h-pontos:

Considere dois h-pontos distintos, $A$ e $B$, e a h-reta $t$ que passa por $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$. A distância entre dois h-pontos, $A$ e $B$, no h-plano, denominado por $d_h(A,B)$, é:
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|$$
onde $\overline{AZ_1}$, $\overline{BZ_2}, \overline{AZ_2}$ e $\overline{BZ_1}$ representam a medida euclidiana dos respectivos segmentos.

Vamos mostrar que se $A=B$ então $d_h(A,B)=0$. Observando a Figura 2, se fixarmos o h-ponto $A$ e movermos o h-ponto $B$ sobre a h-reta $t$ de modo que coincida com $A$, no plano euclidiano, a medida do segmento $\overline{BZ_2}$ será igual à medida do segmento $\overline{AZ_2}$ e a medida do segmento $\overline{BZ_1}$ será igual à medida do segmento $\overline{AZ_1}$. Assim,
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\right|=\left|\ln 1 \right|=0$$

Figura 2: distância entre dois h-pontos

Agora, vamos mostrar que com a métrica proposta por Poincaré, o h-plano do seu modelo de Disco é infinito. Consideremos os h-pontos $A,B$ e $B'$ pertencentes a h-reta $t$ que tem do pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, ver Figura 3. Vamos fixar os pontos $A$ e $B$ e aproximar $B'$ de $Z_1$, então teremos $\overline{B'Z_1}<\overline{BZ_1}$ e $\overline{B'Z_2}>\overline{BZ_2}$, assim:
$$\dfrac{\overline{B'Z_2}}{\overline{B'Z_1}}>\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow \dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{B'Z_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{B'Z_1}}>\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\Rightarrow\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{B'Z_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{B'Z_1}}\right|>\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|\Rightarrow d_h(A,B')>d_h(A,B)$$

Assim, quanto mais próximo $B'$ estiver de $Z_1$, maior será a distância de entre $A$ e $B'$, portanto, se $B'$ tender a $Z_1$, a distância entre $A$ e $B'$ tende ao infinito.

Figura 3: $\lim_{B'\rightarrow Z_1} d_h(A,B')=\infty$ 

Abaixo, está uma construção feita no Geogebra, onde podemos movimentar os h-pontos $A$ e $B$ e observar a distância entre eles no h-plano.

Construção 1: Distância dos h-pontos $A$ e $B$ no h-plano

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRADE, Plácido Francisco de. Introdução à Geometria Hiperbólica: O modelo de Poincaré. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 263 p. (Textos Universitários).

SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 25 jun. 2016.