Na postagem Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré é mostrado que uma h-circunferência também é uma circunferência euclidiana, porém o centro euclidiano (centro) e o centro hiperbólico (h-centro) não coincidem, exceto se as h-circunferências e o Disco de Poincaré são concêntricos.
Nesta postagem, apresentaremos algumas relações entre o plano hiperbólico, h-circunferências e h-eixo de simetria.
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| Figura 1 |
DEMONSTRAÇÃO
No plano $\mathbb{H}$, como $O$ e $O'$ são simétricos em relação à $h$, então, no plano euclidiano, $O$ e $O'$ são inversos em relação à circunferência $e$, então, $O, O'$ e $O_e$ são colineares.
Para prova que o ponto $O_{d'}$ pertence à reta $\overline{OO_e}$, vamos considerar as retas $i$ e $j$, tangentes a $d$ em $D$ e $E$, respectivamente, e interceptam-se no ponto $O_e$, ver Figura 2.
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| Figura 2 |
Deste modo, a reta $\overline{OO_e}$ é bissetriz do ângulo $\angle DO_eE$ (ver nos comentários a justificativa desta conclusão).
Tomando $e$ como uma circunferência de inversão, conforme o Teorema 1 - Inversão de reta em relação à circunferência, como as retas $i$ e $j$ passam pelo centro de inversão, então, suas respectivas inversões são as próprias retas $i$ e $j$. Temos ainda que se $D'$ e $E'$ são os inversos dos pontos $D$ e $E$, respectivamente $$\left(D\in d\cap i,E\in d\cap j\right)\Rightarrow \left(D'\in d'\cap i, E'\in d'\cap j\right)$$
Além disso, como $i$ e $j$ interceptam $d$ em um único ponto, cada um, então, cada reta intercepta $d'$ em um único ponto. Assim, as retas $i$ e $j$ são tangentes a $d'$ em $D'$ e $E'$, respectivamente. Portanto, o centro de $d'$, ponto $O_{d'}$, também pertence à bissetriz do ângulo $\angle DO_eE$, ou seja $$O_{d'}\in\overline{OO_e}$$ Assim, os pontos $O, O_{d'}$ e $O'$ são colineares.
$\square$
DEMONSTRAÇÃO
Sendo $c$ e $e$ circunferências ortogonais, então, o inversos de $e$ em relação a $c$ é a própria circunferência $e$ (ver Inversão de circunferência em relação a outra circunferência). Como $O$ é o centro de $c$ e $O'$ é o inverso de $O$ em relação a $e$, pelo Teorema 1-Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão, o inversos de $O'$ em relação a $c$ é $O_e$.
$\square$
Tomando como definição de uma bissetriz de um ângulo $\alpha$ como sendo $$\text{ o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes dos lados do ângulo }\alpha$$
ResponderExcluirEntão, uma forma para determinarmos a bissetriz de um ângulo $\alpha$ é encontrar um ponto $P$ equidistante dos lados de $\alpha$ e traçar a reta que passa por $P$ e pelo vértice do ângulo $\alpha$.
Posto isso, vemos que a circunferência $d$ está contida no ângulo $\alpha=\angle DO_eE$ e o centro de $d$, ponto $O$, é equidistante das semirretas $\overrightarrow{O_eD}$ e $\overrightarrow{O_eE}$, que são os lados do ângulo $\alpha$, então, a reta $\overline{OO_e}$ é bissetriz do ângulo $\alpha$.