Mediatriz e H-ponto médio no Disco de Poincaré

Nesta publicação veremos a definição de mediatriz no plano $\mathbb{H}$ e h-ponto médio de um segmento de h-reta.

Para uma boa compreensão das demonstrações, é importante que o leitor tenha conhecimento sobre a reflexão em torno de uma h-reta, para isso, sugerimos a leitura das publicações Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta e H-eixo de simetria no Disco de Poincaré.

H-retas perpendiculares

Nesta postagem, veremos uma construção de uma h-reta $t$ determinada por um de seus h-pontos, denominado por $P$, e uma de suas perpendiculares, denominada $r$. Para esta construção, consideraremos as seguintes situações:

1. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$;
2. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$;
3. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$; e
4. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$.

Ângulo no h-plano

No h-plano, vamos considerar duas h-retas que se intersetam num h-ponto $A$, a medida do ângulo formado por essas h-retas no h-ponto $A$ obedecerá as seguintes condições:

Construção de h-reta

Atualizada em 30/07/2016 as 13:41

A geometria hiperbólica satisfaz os quatro primeiros postulados de Euclides. Deste modo, dois h-pontos determinam uma única h-reta. Ainda é possível determinar uma h-reta conhecendo um dos seus h-pontos e um dos pontos ideais ou conhecendo os dois pontos ideais.

Nesta postagem, veremos construções de h-retas determinadas por dois h-pontos, por um h-ponto e um ponto ideal e por dois pontos ideais, auxiliados pelo software Geogebra.

Métrica no Disco de Poincaré

OS PROBLEMAS DA MÉTRICA EUCLIDIANA NO H-PLANO DO DISCO DE POINCARÉ

Na geometria hiperbólica, o plano é uma região ilimitada, porém o plano hiperbólico do Disco de Poincaré é uma região restrita no plano euclidiano, se determinássemos a distância de dois h-pontos da mesma forma que determinamos a distância de dois pontos em $\mathbb{E}$, o maior comprimento seria menor que $2\cdot r$ (diâmetro de $\alpha$).

O Disco de Poincaré: ponto, reta e plano

Jules Henri Poincaré (1854-1912) era Engenheiro de Minas pela École Polytechnique (1875), trabalhou no Departamento de Minas até falecer. Foi Doutor em Ciências pela Universidade de Paris (1879), onde adquiriu Cátedra, e foi professor da Universidade de Sorbone. Ao contrário de outros famosos matemáticos, Poincaré se revelou um gênio na idade adulta e foi prova viva que habilidade para os números não é um pré-requisito para ser um grande matemático, pois, Poincaré não tinha habilidade para cálculos laboriosos mas é considerado um universalista em Matemática. 

O modelo de Disco de Poincaré para Geometria Hiperbólica foi criado entre 1882 e 1887. Ele faz uso da Geometria Euclidiana, mas utilizando os postulados da Geometria Hiperbólica, assim, se houver alguma inconsistência, então, também há inconsistência na Geometria Euclidiana.