Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência

Considere os pontos distintos $O, P$ e $R$ e uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r=\overline{OR}\neq 0$ no plano euclidiano.

A construção a seguir, feita no Geogebra, é para determinar a inversão do ponto $P$ em relação a circunferência $\alpha$ independente do ponto ser interno ou externo à circunferência de inversão.

Inversão de ponto externo a circunferência $\alpha$

Nesta postagem, realizaremos uma construçãogeométrica para determinar a inversão de um ponto externo à circunferência de inversão.

Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$

Vamos determinar, por meio de construções geométricas, o ponto inverso $P'$ do ponto $P$ que é interno à circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$.