Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

Sei que o título desta postagem é tão complicado de se compreender quanto o 5º postulado de Euclides:

Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Wikipedia)

O objetivo é determinar o centro de uma circunferência $\beta'$ que é o inverso de outra circunferência, chamada de $\beta$, em relação a uma circunferência $\alpha$. Veremos, a seguir, que apesar de um enunciado tão complicado de entender, o teorema é bem compreensível.

Inversão de ângulos formados por retas e circunferências

Nesta postagem veremos que seja $m$ e $n$ duas retas, ou duas circunferências, ou uma reta e uma circunferência que se intersetam num ponto $P$ formando um ângulo $\theta$. As inversões, $m'$ e $n'$, respectivamente de $m$ e $n$, em relação a uma circunferência $\alpha$, formam um ângulo congruente a $\theta$ no ponto $P'$, inverso do ponto $P$.

Inversão de reta em relação à circunferência

Estudamos na escola que há três posições relativas entre uma reta e uma circunferência no plano:

• A reta é externa à circunferência;
• A reta é tangente à circunferência; e
• A reta é secante à circunferência 

Em se tratando de inversão na circunferência, há mais uma posição entre reta e circunferência que devemos considerar:

• A reta passa pelo centro de inversão

Pois, apenas nesta última, um ponto pertencente à reta tem seu inverso, em relação à circunferência de inversão, pertencente a mesma reta.

Circunferências ortogonais

Através da construção de circunferências ortogonais, poderemos determinar h-retas e realizar transformações geométricas no h-plano. Veremos teoremas importantes que fundamentam a construção de uma circunferência ortogonal a uma circunferência dada.

Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência

Considere os pontos distintos $O, P$ e $R$ e uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r=\overline{OR}\neq 0$ no plano euclidiano.

A construção a seguir, feita no Geogebra, é para determinar a inversão do ponto $P$ em relação a circunferência $\alpha$ independente do ponto ser interno ou externo à circunferência de inversão.

Inversão de ponto externo a circunferência $\alpha$

Nesta postagem, realizaremos uma construçãogeométrica para determinar a inversão de um ponto externo à circunferência de inversão.

Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$

Vamos determinar, por meio de construções geométricas, o ponto inverso $P'$ do ponto $P$ que é interno à circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$.

Inversão na circunferência

A inversão na circunferência é uma transformação que associa um ponto interno de uma circunferência a um único ponto externo da mesma circunferência. Esta transformação é importante para realizar construções no h-plano tais como h-retas e estabelecer a reflexão de uma h-reta.

Nesta postagem, definiremos pontos inversos, ponto ideal, plano de inversão e inversão na circunferência e veremos que a inversão na circunferência é uma relação biunívoca.