Mediatriz e H-ponto médio no Disco de Poincaré

Nesta publicação veremos a definição de mediatriz no plano $\mathbb{H}$ e h-ponto médio de um segmento de h-reta.

Para uma boa compreensão das demonstrações, é importante que o leitor tenha conhecimento sobre a reflexão em torno de uma h-reta, para isso, sugerimos a leitura das publicações Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta e H-eixo de simetria no Disco de Poincaré.

Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta

Nesta postagem conheceremos uma transformação no plano hiperbólico, reflexão em torno de uma h-reta, e provaremos que esta transformação é uma isometria.

Para o bom entendimento desta publicação, é importante que tenha conhecimento sobre o modelo de Disco proposto por Poincaré, para isso sugerismo a leitura da publicação Disco de Poincaré: ponto, reta e plano. Desta forma, o plano hiperbólico $\mathbb{H}$ será a região delimitada por uma circunferência $\alpha$, com centro num ponto $O$ e raio não-nulo. Também sugerimos a leitura da publicação Métrica no Disco de Poincaré para melhor conhecimento sobre a forma de medir a distância entre dois h-pontos no Disco de Poincaré.

Para boa compreensão das demonstrações, é necessário que o leitor tenha conhecimento sobre inversão na circunferência, caso não tenha, sugerimos a leitura das publicações (nesta ordem) Inversão na circunferência, Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$, Inversão de ponto externo a circunferência$\alpha$, Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência, Circunferências ortogonais, Inversão de reta em relação à circunferência, Inversão de circunferência em relação a outra circunferência, Inversão de ângulos formados por retas e circunferências e Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão.

Para saber como construir h-retas, leia a publicação Construção de h-reta e H-retas perpendiculares.

Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

Sei que o título desta postagem é tão complicado de se compreender quanto o 5º postulado de Euclides:

Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Wikipedia)

O objetivo é determinar o centro de uma circunferência $\beta'$ que é o inverso de outra circunferência, chamada de $\beta$, em relação a uma circunferência $\alpha$. Veremos, a seguir, que apesar de um enunciado tão complicado de entender, o teorema é bem compreensível.

Inversão de circunferência em relação a outra circunferência

Veremos que a inversão de uma circunferência em relação a outra pode ser uma circunferência que não passa pelo centro de inversão ou uma reta que não passa pelo centro de inversão. Em uma caso particular, mostraremos a inversão de uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão.

Circunferências ortogonais

Através da construção de circunferências ortogonais, poderemos determinar h-retas e realizar transformações geométricas no h-plano. Veremos teoremas importantes que fundamentam a construção de uma circunferência ortogonal a uma circunferência dada.