Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré

Nesta postagem, mostraremos que uma h-circunferência é igual a uma circunferência no plano euclidiano, porém, o h-centro é distinto do centro e o modo de medir o raio também é diferente. Para melhor compreensão desta postagem, sugerimos a leitura das seguintes postagens: Inversão de circunferência em relação a outra circunferência e Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta. Assim, vamos construir uma h-circunferência a partir da Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta transcrita a seguir:

Dado um h-ponto $C$ e uma h-distância $\rho$, definiremos a circunferência hiperbólica $\lambda$, ou h-circunferência, com h-centro em $C$ e h-raio $\rho$ o conjunto dos h-pontos que estão a uma h-distância $\rho$ do h-ponto $C$

Mediatriz e H-ponto médio no Disco de Poincaré

Nesta publicação veremos a definição de mediatriz no plano $\mathbb{H}$ e h-ponto médio de um segmento de h-reta.

Para uma boa compreensão das demonstrações, é importante que o leitor tenha conhecimento sobre a reflexão em torno de uma h-reta, para isso, sugerimos a leitura das publicações Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta e H-eixo de simetria no Disco de Poincaré.

H-eixo de simetria no Disco de Poincaré

Esta publicação visa preencher lacunas que ficaram da publicação Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, por esta razão, sugiro que a veja antes de continuar com a leitura desta publicação.

Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta

Nesta postagem conheceremos uma transformação no plano hiperbólico, reflexão em torno de uma h-reta, e provaremos que esta transformação é uma isometria.

Para o bom entendimento desta publicação, é importante que tenha conhecimento sobre o modelo de Disco proposto por Poincaré, para isso sugerismo a leitura da publicação Disco de Poincaré: ponto, reta e plano. Desta forma, o plano hiperbólico $\mathbb{H}$ será a região delimitada por uma circunferência $\alpha$, com centro num ponto $O$ e raio não-nulo. Também sugerimos a leitura da publicação Métrica no Disco de Poincaré para melhor conhecimento sobre a forma de medir a distância entre dois h-pontos no Disco de Poincaré.

Para boa compreensão das demonstrações, é necessário que o leitor tenha conhecimento sobre inversão na circunferência, caso não tenha, sugerimos a leitura das publicações (nesta ordem) Inversão na circunferência, Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$, Inversão de ponto externo a circunferência$\alpha$, Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência, Circunferências ortogonais, Inversão de reta em relação à circunferência, Inversão de circunferência em relação a outra circunferência, Inversão de ângulos formados por retas e circunferências e Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão.

Para saber como construir h-retas, leia a publicação Construção de h-reta e H-retas perpendiculares.

Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

Sei que o título desta postagem é tão complicado de se compreender quanto o 5º postulado de Euclides:

Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Wikipedia)

O objetivo é determinar o centro de uma circunferência $\beta'$ que é o inverso de outra circunferência, chamada de $\beta$, em relação a uma circunferência $\alpha$. Veremos, a seguir, que apesar de um enunciado tão complicado de entender, o teorema é bem compreensível.